人教高中数学必修四课件:1.2.1 任意角的三角函数(1) 情境互动课型

发布于:2021-06-23 01:09:52

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 古希腊的天文学家喜帕恰斯对天文的测量 任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一. 起源于对三角形边 角关系的研究,始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量, 在相当长的时期里隶属于天文学.直到1464年,德国数学家雷格蒙塔努斯著《论 各种三角形》,才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说. 1631年,三角学传入中国,三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和 “三角”.“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线:正弦线、余弦线、正切 线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。 随着科学的发展,三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重 要数学工具,它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用. 在直角三角形ABC中,∠C=90°,sinα, cosα,tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切, 它们的值分别等于什么? sin = BC cos = AC B AB AB tan = BC C AC α A 当角α不是锐角时,我们必须对sinα, cosα,tanα的值进行推广,以适应任意角的需 要.如何定义任意角的三角函数呢? 1.掌握任意角的三角函数的定义; (重点) 2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域. (重点、难点) 探究点1 三角函数的定义、定义域 思考1 我们把锐角α放到直角坐标系中,并使角 α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α的终边上取一点P(a,b),设点P与原点的 距离为r,那么,sinα,cosα,tanα的值分别如 何表示? 提示: sin b r cos a r tan b a A y P(a,b) r α O Bx 思考2 对于确定的角α,上述三个比值是否 随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢? 为什么? P ﹒P O M M △OMP ∽ △OMP sin MP M P OP OP cos OM OP OM OP tan MP OM M P OM 提示:由相似三角形的知识可知,这三个比值不 会随着点P在角α的终边上的位置的改变而改变. 思考3、为了使sinα,cosα的表示式更简单, 你认为点P的位置选在何处最好? 此时,sinα,cosα分别等于什么? 提示:OP=1处 sin b y P(a,b) 1 cos a tan b a α o x 任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆(以原点为圆 心,以单位长为半径的圆)交于点P(x,y),为了 不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾,你认为 sinα,cosα,tanα对应的值应分别如何定义? 提示: sin y y α的终边 cos x P(x,y)· tan y (x 0) Ox x 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 数,我们将它们统称为三角函数. 思考4.对于一个任意给定的角α,按照上述定义, 对应的sinα,cosα,tanα的值是否存在?是 否唯一? 提示: y α的终边 角α的终边在y轴上时, tanα的值无意义,除此 P(x,y)· Ox 之外,其他的角的三角 函数值都是唯一确定的. 正弦、余弦、正切函数的定义域 函数 y sin 定义域 R y cos y tan R { | k, k Z} 2 【即时训练】 已知角α的终边经过点 P(-12,5),求α的三个三 角函数值. 解: 因 为 x 12, y 5 ,所 以 r (12)2 52 13 , 于是 sin y 5 , r 13 cos x 12 , r 13 tan y 5 . x 12 探究点2 三角函数的符号 思考1 根据任意角三角函数的定义,sinα, cosα,tanα的值的符号取决于什么? 提示 由任意角三角函数的定义知sinα,cosα, tanα的值的符号取决于单位圆与角的终边交点 的坐标的符号 三角函数的符号 sin y cos x tan y(x≠0) O x y ++ y -+ y -+ O x -- O x -+ O x +- sin cos tan 方法规律: 一全二正弦;三切四余弦 【即时训练】 确定下列各三角函数值的符号: (1) sin 13 ; 7 【解析】 (2)cos 130°; (3) tan( 2). 3 (1)sin 13 0 (2) cos 130o 0 (3) tan( 2) 0 7 3 例1.求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 【解析】在直角坐标系中,作 AOB 5 (如图). 3 易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为(12, 23).所以 sin 5 3 , 32 cos 5 1 , 32 tan 5 3 . 3 y 5 3 O x A B(1 , 3 ) 22 【变式练*】 已知角 α 的终边过点 P(-1,2),cosα 的值为 ( A) A.- 5 5 B.- 5 25 C. 5 5 D. 2 【解题关键】若角 α 的终边过点 P(x,y),则 sin α, cos α,tan α 的值如何表示? 【解析】由题意得:r= (1)2 22 = 5, cos α=xr=- 55. 例2.已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求 角α的正弦、余弦和正切值. 解:由已知可得: y OP0 (3)2 (4)2 5 . 如图,设角 的终边与单位圆交于 M0 M x

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