数学建模基本要素

发布于:2021-06-23 00:32:28

学过的数学知多少?你用了吗? 实 数学修养:自觉使用数学 际 思维方式解决问题的能力 问 题 数学工具:用数学解决实际问题的支撑-数学应用 小学12本 初中6本 高中5本 数学基础部分:学*数学本身的基本理论与规则 目录 1.1 从现实对象到数学模型 什么是模型 ? 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型是为一定目的,对客观事物进行简缩、抽象、 提炼出来的原型替代物, 而非原型本身. 模型集中反映了原型中需要的那部分特征. 同一原 型可能因为应用目的不同而构建 多种模型。 1.1 从现实对象到数学模型 抽象性! 毕加索笔下的牛 1.1 从现实对象到数学模型 简约性 “马”字的演化! 马 1.1 从现实对象到数学模型 多面性 行政部门: Cartoon模型 交通部门: 网状图模 型 航空部门: 赋值图(Graph)模型 1.1 从现实对象到数学模型 不是对象在变,是我们的手段 和需求在变!-需求驱动性 雷达探测:飞机被看做 由多个具有一定空间分 布的散射点构成---散射 点模型---雷达成像 红外探测:飞机是具 有不同温度分布的几 何对象--温度场(辐射 场)模型---红外成像 你碰到过的数学模型——“航行问题” 甲乙两地相距750千米,船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少? 用 x 表示船速,y 表示水速,列出方程: ( x ? y) ? 30 ? 750 x =20 ( x ? y) ? 50 ? 750求解 y =5 答:船速每小时20千米/小时. 解剖“麻雀” 航行问题建立数学模型的基本步骤: ? 简化假设(船速、水速为常数); ? 符号表示(x, y表示船速和水速); ? 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程); ? 求解得到数学解答(x=20, y=5); ? 回答原问题(船速每小时20千米/小时)。 与实际情况相符合吗? 航行问题的高等数学建模 经验线路航行,why ? 数学模型---Mathematical Model 数学建模---Mathematical Modeling 数学模型 一个现实对象, 一个特定目的, 据其内在规律(科学规律), 作出必要假设, 选择适当数学工具, 获得合理数学结构和描述。 数学研究是 天赋猎场 数学应用是 勤奋良田 建立数学模型的全过程 (包括表述、求解、解释、检验等) 数学 建模 3W 规则 What 实际问题的 数学描述 搞楚是什么 探讨如何做 多问为什么 Why 解释与检验 How 数学问题如 何求解 1.2 数学建模的意义 ? 计算机计算能力的快速提高,数学计算软件的 通用化、便利化、网络化、交互化。 ? 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学解决实际问题的第一步, 越来越受到人们的重视。 ? 工程技术领域, 数学建模无处不在 ? 高新技术领域, 数学建模是推陈出新的最大源动力 ---大数据、深度学*、类脑计算 ? 数学是一种世界通用语言, 跨越语种沟通* 数学建模的具体应用 ? 分析与设计 ? 预报与决策 ? 控制与优化 数学建模 如虎添翼 ? 规划与管理 计算机技术 知识经济 数学建模不是万能的,但对于从事理工科研 究的人,不会数学建模是“万万不能的”! 1.3 数学建模示例 1.3.1 椅子能在不*的地面上放*稳吗 ? 问题分析 通常 -三只脚着地 放稳 -四只脚着地 ? 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚 模 连线呈正方形; 型 假 ? 地面高度连续变化,可视为数学上的连续 设 曲面; ? 地面相对*坦,使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 ? 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ? B A ? ? 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 C 距离是? 的函数 四个距离 两个距离 (四只脚) 正方形 C? 对称性 ? O A x D? D A,C 两脚与地面距离之和f(?) B,D 两脚与地面距离之和 g(?) 正方形ABCD 绕O点旋转 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 f(?) , g(?)是连续函数 椅子在任意位置 至少三只脚着地 对任意?, f(?), g(?) 至少一个为0 数学 问题 已知: f(?) , g(?)是连续函数 ; 对任意?, f(?) ? g(?)=0 ; 且 g(0)=0, f(0) > 0. 证明:存在?0,使f(?0) = g(?0) = 0. 模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子旋转900,对角线AC和BD互换。 由g(0)=0, f(0) > 0 ,知f(?/2)=0 , g(?/2)>0. 令h(?)= f(?)–g(?), 则h(0)>0和h(?/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本 性质, 必存在?0 , 使h(?0)=0, 即f(?0) = g(?0) . 因为f(?) ? g(?)=0, 所以f(?0) = g(?0) = 0. 评注和思考 建模的关键 :?和f(?), g(?)的确定 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 解决问题的另一个数学模型 基本假定: 1. 地面描述为连续曲面 f (x, y); 2. 椅子围绕坐标原点水*旋转; 3. 转角规定为椅子对角连线与X轴的夹角, 记为?; 4. 椅子四个脚在x-y*面上的坐标分别为 B ? B A ? A?(a sin? , a cos? ) B?

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